Fyzika a klasická energetika

Článků v rubrice: 217

Lorentz na to přišel dříve než Einstein

Nedávno jsme uveřejnili článek o příkladech užití teorie relativity v praxi. Pro náročnější si dnes ukážeme, co je Lorentzova transformace. Lorentzova transformace převádí ve speciální teorii relativity (STR) souřadnice prostorové i časové mezi dvěma vztažnými soustavami S, S‘, v nichž platí Newtonův zákon setrvačnosti (inerciálními soustavami). Je to jediná možná transformace, chceme-li zachovat oba experimentálně zjištěné pilíře STR, tj., že fyzikální zákony mají ve všech inerciálních soustavách stejný tvar, a že cokoli má světelnou rychlost c v jedné inerciální soustavě, má tutéž rychlost i v každé jiné inerciální soustavě. Dokažme si to pro pohyb v jediném směru značeném x (tzv. speciální Lorentzova transformace).

Fotogalerie (1)
Albert Einstein a Hendrik Antoon Lorentz vyfotografováni Paulem Ehrenfestem před jeho domem v Leidenu v roce 1921 (zdroj Wikimedia Commons)

Napřed trochu opakování z fyziky

Rychlost je časovou změnou polohy, ale polohu tělesa měříme zásadně jen vůči něčemu. Poloha i rychlost jsou proto relativní; cokoli je např. v klidu vůči Zemi, letí vlastně rychlostí 30 km/s po ekliptice kolem Slunce. Newton předpokládal, že existuje absolutní prostor a (na něm nezávislý) absolutní čas; měříme-li v této (absolutní) vztažné soustavě, pak platí jeho zákon setrvačnosti (první Newtonův zákon - 1NZ) i zákon síly (druhý Newtonů zákon - 2NZ). Ale už Galileo věděl, že rovnoměrný přímočarý pohyb je „nezávadný“ v tom smyslu, že měření v rovnoměrně přímočaře se pohybující soustavě S‘ vede sice k jiným číselným hodnotám fyzikálních veličin (poloha x‘, rychlost v‘,…), ale fyzikální zákony zachovají stejný tvar, jaký měly v „klidné“ soustavě S. Každou soustavu S‘, kde platí 1NZ, nazýváme inerciální; nesmí se vůči S otáčet nebo pohybovat zrychleně. Pak i v ní platí 2NZ.

Transformace je vztah

Jaký je vztah mezi souřadnicemi v různých inerciálních soustavách S, S‘, tj. jaká mezi nimi platí transformace? Pro jednoduchost se dohodněme na takové synchronizaci, že časoprostorové počátky obou soustav splývají (bod x = 0 v čase t = 0 splývá s bodem x‘ = 0 v čase t‘ = 0).

Chceme-li, aby se těleso bez přítomnosti vnějších sil vůči oběma soustavám pohybovalo vždy rovnoměrně přímočaře (1NZ), musejí souřadnice x‘, t‘ (tedy měřené v S‘) být lineárními funkcemi souřadnic x, t (měřených v S), a být proto určeny 2 × 2 = 4 parametry, např. ak v zápise

x‘ = a1 (x + a2t) (obecně)                                 (1)

t‘ = a1 (a3x + a4t)                                              (2)

Tyto parametry ak budou, jak nyní ukážeme, jednoznačně určeny, chceme-li dodržet čtyři podmínky:

(a) S‘ má vůči S rychlost W. Pak počátek S‘, tj. bod, pro něhož x‘ = 0, má mít vůči S  rychlost v = x / t = W. Dosazením za x‘ = x = 0  do (1) dostaneme 0 = a1 (Wt + a2t), a tedy a2 = -W.

(b) S má vůči S‘ rychlost (-W). Pak zas počátek S, tj. bod, pro něhož x = 0, má mít vůči S‘ vždy rychlost v‘ = -W. Je tedy v´= x´ / t´ = a1 (0 - Wt) / a1 (a30 + a4t) = -W. Z toho plyne, že a4 = 1, a máme soustavu

x‘ = a1 (x - Wt)  (obecně)                                  (3)

t‘ = a1 (a3x + t) (4)

(c) Newton předpokládal, že čas je na prostoru nezávislý, a tedy pro každé S, S‘ platí

t‘ = t (Newton)                                  (5a)

Ale nejpřesnější měření konaná od konce 19. stol. potvrzují, že to tak nemůže být, protože rychlost c světla ve vakuu (zvaná „světelná rychlost“) je stejná, nezávislá na zdroji světla, rychlosti zdroje ani na směru šíření světla, ať ji měříme v jakékoli inerciální soustavě S‘; vzájemná rychlost  W se k ní nepřičítá. Neplatí a nechceme tedy (5a), ale namísto toho požadujeme

c‘ = c (přesná měření, Lorentz)          (5b)

(c‘) Existuje rychlost stejná v S i S‘, tj. c‘ = c. Zatímco ostatní fyzikové před 100 léty zkoumali specifika světla a jeho vlastností, Einstein byl první, kdo vztah (5b) prohlásil za vlastnost prostoru a času (prostoročasu), a nikoli za specifikum světla. Co z toho plyne pro (3), (4)? Dělením (3)/(4) a dosazením x = ct, x‘ = ct dostaneme pro rychlosti c, c‘ vztah c‘ = (ct - Wt) / (a3ct + t) a po vykrácení t a roznásobení dostaneme a3 = -W/c2.

A konečně poslední požadavek určí poslední parametr a1:

(d) Přechod od S‘ k S má rovněž tvar (1), (2) se záměnou x za x‘, t za t‘, W za W‘. Tento přechod je vlastně zpětná transformace, tedy soustava typu x = x(x‘, t‘), t = t(x‘, t‘) řešící (1), (2) s právě vypočtenými a1, a2, a3. Dosazením a úpravami dostáváme a4 = 1/√(1 - W2/c2). Označíme-li pro jednoduchost  a4 = 1/√(1 - W2/c2) = γ, dostaneme výsledné rovnice

x‘ = γ(x - Wt)                         (Lorentz)                      (6)

t‘ =  γ(-Wx/c2 + t)                                                      (7)

Zdánlivá nesymetrie rovnic vzniká tím, že x a t měříme různými a víceméně náhodnými jednotkami (metr původně založený na velikosti Země, sekunda na jejím otáčení). Zavedení času x0 = ct měřeného metrem (jako x) tuto asymetrii odstraní.

Einstein a Lorentzova transformace

Tuto transformaci formuloval jako první Hendrik Antoon Lorentz, proto nese jeho jméno. Jeho čestný a poctivý charakter nejlépe ilustruje odpověď kolegům, kteří mu navrhovali, aby Nobelovu cenu za teorii relativity reklamoval pro sebe: „Já jsem tuto transformaci objevil, ale Einstein jí porozuměl“.

Vydělením rovnic (6), (7) dostáváme odčítání rychlostí podle Lorentze:

v‘ = (v - W) / (1 - vW/c2)                      (Lorentz)                      (8)

resp. analogické sčítání (skládání) rychlostí

v‘ = (v + W) / (1 + vW/c2)         (Lorentz)                      (9)

Lorentzova transformace v praxi

Matematičtí nadšenci, přesvědčte se sami, že:

1) Pro v < c a W < c je opět v‘< c.

2) Je-li v = c nebo W = c, je vždy v‘= c.

3) Klasické sčítání rychlostí i klasickou Galileovu transformaci dostaneme snadno v limitě c → ∞.

4) Rozmyslete, že limita c → ∞ odpovídá Newtonově předpokladu nezávislého (společného) času v tomto smyslu: když z události A v místě xA a čase tA právě stačí světlo doletět do události B v místě xB v čase tB, pak zřejmě xB - xA = c(tB - tA). V limitě c → ∞ to odpovídá situaci, kdy A, B jsou současné, tedy tB = tA.

5) Kontrakce délek: Měříme-li pohybující se předmět mající vlastní délku d, naměříme méně: d‘ = d/γ,

6) Dilatace času: Pohybující se hodiny jdou γ-krát pomaleji než tytéž hodiny stojící. Doba t, která podle nich uplyne, je tedy kratší než naše: t‘ = γt.

Dilatace času byla mnohokrát experimentálně ověřena i na přesných „pozemských“ hodinách, i na době poločasu částic vznikajících v horních vrstvách atmosféry.

Doc. Jan Obdržálek
Poslat odkaz na článek

Opište prosím text z obrázku

Nejnovější články

Černá smrt gumy a jak jí čelit

Guma je jedním z neopěvovaných velkých hrdinů průmyslové revoluce. Kromě jejích obvyklých aplikací, jako jsou pneumatiky, kondomy, elastické spodní prádlo, apod., představuje základní složku asi ve 40 000 výrobcích, včetně absorbérů nárazu, hadic, lékařských nástrojů, těsnění, atd.

Z historie i současnosti vynálezů a jejich ochrany

Vynálezy a objevy často přicházejí na svět klikatými cestičkami. Jednou to vypadá, jako by se na ně čekalo tak netrpělivě, že se zrodí hned v několika hlavách v různých koutech světa, jindy je náhodou nebo omylem objeveno něco, s čím si nikdo neví rady.

Jak vyčíslit ekonomické přínosy jádra? A co na to evropský jaderný průmysl?

Společnost Deloitte vypracovala pro Euratom studii o přínosech jaderné energetiky v roce 2019 a 2050. V současné době je v provozu ve 14 zemích EU 126 komerčních reaktorů o výkonu 118 GWe. Do roku 2050 by měl jejich výkon stoupnout na 150 GWe, budou se ale muset snížit investiční náklady.

Astronauti se pořád ptali: Jak se daří myškám?

Myši, švábi, japonské křepelky, ryby, škeble, rostliny.... ti všichni měli možnost ochutnat Měsíc! Po návratu Apolla 11, od jehož mise letos uplynulo 11 let, putovalo množství vzácných vzorků měsíční horniny do laboratoří.

Irský matematik a fyzik George Gabriel Stokes

Světlo je jeden z nejúžasnějších přírodních jevů a pro život člověka má zásadní význam. Je pro nás nejen hlavním prostředkem poznávání světa a vesmíru, ale i zdrojem emocí, je obdivováno a zkoumáno uměním i vědou. Optika, nauka o světle, je vlastně nejstarší částí fyziky.

Nejnovější video

Bez jaderné energie se ve vesmíru daleko nedostaneme

Krátké výstižné video z dílny Mezinárodní agentury pro atomovou energii ve Vídni ukazuje využití jaderné energie a jaderných technologií při výzkumu vesmíru. Ne každý ví, že jádro pohání vesmírné sondy už po desetiletí. Zopakujme si to. (Film je v angličtině.)

close
detail