Lorentz na to přišel dříve než Einstein

Nedávno jsme uveřejnili článek o příkladech užití teorie relativity v praxi. Pro náročnější si dnes ukážeme, co je Lorentzova transformace. Lorentzova transformace převádí ve speciální teorii relativity (STR) souřadnice prostorové i časové mezi dvěma vztažnými soustavami S, S‘, v nichž platí Newtonův zákon setrvačnosti (inerciálními soustavami). Je to jediná možná transformace, chceme-li zachovat oba experimentálně zjištěné pilíře STR, tj., že fyzikální zákony mají ve všech inerciálních soustavách stejný tvar, a že cokoli má světelnou rychlost c v jedné inerciální soustavě, má tutéž rychlost i v každé jiné inerciální soustavě. Dokažme si to pro pohyb v jediném směru značeném x (tzv. speciální Lorentzova transformace).

Napřed trochu opakování z fyziky

Rychlost je časovou změnou polohy, ale polohu tělesa měříme zásadně jen vůči něčemu. Poloha i rychlost jsou proto relativní; cokoli je např. v klidu vůči Zemi, letí vlastně rychlostí 30 km/s po ekliptice kolem Slunce. Newton předpokládal, že existuje absolutní prostor a (na něm nezávislý) absolutní čas; měříme-li v této (absolutní) vztažné soustavě, pak platí jeho zákon setrvačnosti (první Newtonův zákon - 1NZ) i zákon síly (druhý Newtonů zákon - 2NZ). Ale už Galileo věděl, že rovnoměrný přímočarý pohyb je „nezávadný“ v tom smyslu, že měření v rovnoměrně přímočaře se pohybující soustavě S‘ vede sice k jiným číselným hodnotám fyzikálních veličin (poloha x‘, rychlost v‘,…), ale fyzikální zákony zachovají stejný tvar, jaký měly v „klidné“ soustavě S. Každou soustavu S‘, kde platí 1NZ, nazýváme inerciální; nesmí se vůči S otáčet nebo pohybovat zrychleně. Pak i v ní platí 2NZ.

Transformace je vztah

Jaký je vztah mezi souřadnicemi v různých inerciálních soustavách S, S‘, tj. jaká mezi nimi platí transformace? Pro jednoduchost se dohodněme na takové synchronizaci, že časoprostorové počátky obou soustav splývají (bod x = 0 v čase t = 0 splývá s bodem x‘ = 0 v čase t‘ = 0).

Chceme-li, aby se těleso bez přítomnosti vnějších sil vůči oběma soustavám pohybovalo vždy rovnoměrně přímočaře (1NZ), musejí souřadnice x‘, t‘ (tedy měřené v S‘) být lineárními funkcemi souřadnic x, t (měřených v S), a být proto určeny 2 × 2 = 4 parametry, např. a_k v zápise

x‘ = a₁ (x + a₂t) (obecně)                                 (1)

t‘ = a₁ (a₃x + a₄t)                                              (2)

Tyto parametry a_k budou, jak nyní ukážeme, jednoznačně určeny, chceme-li dodržet čtyři podmínky:

(a) S‘ má vůči S rychlost W. Pak počátek S‘, tj. bod, pro něhož x‘ = 0, má mít vůči S  rychlost v = x / t = W. Dosazením za x‘ = x = 0  do (1) dostaneme 0 = a₁ (Wt + a₂t), a tedy a₂ = -W.

(b) S má vůči S‘ rychlost (-W). Pak zas počátek S, tj. bod, pro něhož x = 0, má mít vůči S‘ vždy rychlost v‘ = -W. Je tedy v´= x´ / t´ = a₁ (0 - Wt) / a₁ (a₃0 + a₄t) = -W. Z toho plyne, že a₄ = 1, a máme soustavu

x‘ = a₁ (x - Wt)  (obecně)                                  (3)

t‘ = a₁ (a₃x + t) (4)

(c) Newton předpokládal, že čas je na prostoru nezávislý, a tedy pro každé S, S‘ platí

t‘ = t (Newton)                                  (5a)

Ale nejpřesnější měření konaná od konce 19. stol. potvrzují, že to tak nemůže být, protože rychlost c světla ve vakuu (zvaná „světelná rychlost“) je stejná, nezávislá na zdroji světla, rychlosti zdroje ani na směru šíření světla, ať ji měříme v jakékoli inerciální soustavě S‘; vzájemná rychlost  W se k ní nepřičítá. Neplatí a nechceme tedy (5a), ale namísto toho požadujeme

c‘ = c (přesná měření, Lorentz)          (5b)

(c‘) Existuje rychlost stejná v S i S‘, tj. c‘ = c. Zatímco ostatní fyzikové před 100 léty zkoumali specifika světla a jeho vlastností, Einstein byl první, kdo vztah (5b) prohlásil za vlastnost prostoru a času (prostoročasu), a nikoli za specifikum světla. Co z toho plyne pro (3), (4)? Dělením (3)/(4) a dosazením x = ct, x‘ = ct dostaneme pro rychlosti c, c‘ vztah c‘ = (ct - Wt) / (a₃ct + t) a po vykrácení t a roznásobení dostaneme a₃ = -W/c².

A konečně poslední požadavek určí poslední parametr a₁:

(d) Přechod od S‘ k S má rovněž tvar (1), (2) se záměnou x za x‘, t za t‘, W za W‘. Tento přechod je vlastně zpětná transformace, tedy soustava typu x = x(x‘, t‘), t = t(x‘, t‘) řešící (1), (2) s právě vypočtenými a₁, a₂, a₃. Dosazením a úpravami dostáváme a₄ = 1/√(1 - W²/c²). Označíme-li pro jednoduchost  a₄ = 1/√(1 - W²/c²) = γ, dostaneme výsledné rovnice

x‘ = γ(x - Wt)                         (Lorentz)                      (6)

t‘ =  γ(-Wx/c² + t)                                                      (7)

Zdánlivá nesymetrie rovnic vzniká tím, že x a t měříme různými a víceméně náhodnými jednotkami (metr původně založený na velikosti Země, sekunda na jejím otáčení). Zavedení času x₀ = ct měřeného metrem (jako x) tuto asymetrii odstraní.

Einstein a Lorentzova transformace

Tuto transformaci formuloval jako první Hendrik Antoon Lorentz, proto nese jeho jméno. Jeho čestný a poctivý charakter nejlépe ilustruje odpověď kolegům, kteří mu navrhovali, aby Nobelovu cenu za teorii relativity reklamoval pro sebe: „Já jsem tuto transformaci objevil, ale Einstein jí porozuměl“.

Vydělením rovnic (6), (7) dostáváme odčítání rychlostí podle Lorentze:

v‘ = (v - W) / (1 - vW/c²)                      (Lorentz)                      (8)

resp. analogické sčítání (skládání) rychlostí

v‘ = (v + W) / (1 + vW/c²)         (Lorentz)                      (9)

Lorentzova transformace v praxi

Matematičtí nadšenci, přesvědčte se sami, že:

1) Pro v < c a W < c je opět v‘< c.

2) Je-li v = c nebo W = c, je vždy v‘= c.

3) Klasické sčítání rychlostí i klasickou Galileovu transformaci dostaneme snadno v limitě c → ∞.

4) Rozmyslete, že limita c → ∞ odpovídá Newtonově předpokladu nezávislého (společného) času v tomto smyslu: když z události A v místě x_A a čase t_A právě stačí světlo doletět do události B v místě x_B v čase t_B, pak zřejmě x_B - x_A = c(t_B - t_A). V limitě c → ∞ to odpovídá situaci, kdy A, B jsou současné, tedy t_B = t_A.

5) Kontrakce délek: Měříme-li pohybující se předmět mající vlastní délku d, naměříme méně: d‘ = d/γ,

6) Dilatace času: Pohybující se hodiny jdou γ-krát pomaleji než tytéž hodiny stojící. Doba t, která podle nich uplyne, je tedy kratší než naše: t‘ = γt.

Dilatace času byla mnohokrát experimentálně ověřena i na přesných „pozemských“ hodinách, i na době poločasu částic vznikajících v horních vrstvách atmosféry.