Umíte (vy)hrát v Monte Carlu?

„Vítejte v Monte Carlu, v centru hazardních her, v městě obrovských výher, štěstí, náhody, zábavy, záhad, městě neomezených možností. Každý může vyhrát.“ Podobně by mohla vyzývat reklama k návštěvě evropského města. Lze však v kasinu, ruletě vyhrát? Vypočtěte si to. Můžete k tomu použít metodu Monte Carlo (MC).

MC je numerická metoda, která k hledání řešení používá statistickou simulaci. Pravděpodobnost výhry při sázce na jedno číslo lze určit přímým výpočtem jako podíl příznivých událostí (tj. padne vsazené číslo) ke všem možným událostem (vždy padne číslo v intervalu 0–36). Nebo můžeme provést několik tisíc sázek, zaznamenat si počet výher a opět vypočíst pravděpodobnost výhry jako podíl těchto čísel. Samozřejmě, tento jednoduchý problém není vhodné řešit metodou MC, protože časová náročnost prvního řešení je několikrát menší. Pokud však budeme chtít vypočítat např. některé charakteristiky jaderných reaktorů, můžeme sestavit soustavy složitých integro-diferenciálních rovnic a ty se poté pokusit vyřešit nebo můžeme přímo simulovat pohyb a interakce neutronů s jádry atomů v aktivní zóně reaktoru.
Metoda MC je známa již několik století, avšak významně se používá teprve několik desetiletí. Moderní počátky se datují k Manhattanskému projektu atomové bomby, kde byla metoda MC použita pro řešení difuze neutronů v prostředí. Z této doby pochází i pojmenování Monte Carlo, právě pro podobnost s hazardními hrami. Hlavní rozvoj MC nastal v 70. letech společně s dostupností výkonnější výpočetní techniky.
Podobně jako v kasinu, i při hledání řešení metodou MC potřebujeme znát pravidla hry. Hrou nazýváme jednu simulaci problému a výhrou pak jeho řešení. Např. při výpočtu vlastností aktivní zóny jaderného reaktoru je potřeba určit geometrii a materiálové složení zóny včetně jaderného paliva, chování neutronu a jádra při jejich interakci. Naštěstí si tyto charakteristiky nemusíme proměřovat nebo vypočítávat, většinou lze použít veřejné knihovny dat. Z matematického aparátu potřebujeme rychlý generátor náhodných čísel. Když k tomu přidáme výkonný počítač a program aplikující pravidla hry, můžeme si trochu „zasimulovat“.
Jedním z programů využívajících metodu MC je mezinárodně rozšířený a ověřený výpočetní kód Monte Carlo N-particle Transport Code (zkratka MCNP). Kód MCNP je použitelný pro většinu druhů výpočtů v jaderných reaktorech např. kritičnosti, hustoty toku neutronů, dozimetrické výpočty, simulace ozařování pacientů. Obrovskou výhodou MCNP je možnost zadání velmi detailní geometrie systému. Významnou nevýhodou, stejně jako u všech MC programů, je časová náročnost výpočtu.
Pro získání výsledku s dostatečnou přesností je potřeba provést mnoho tisíc simulací, tj. jednotlivých her. Na rozdíl od deterministických metod, kdy je potřeba sestavit a řešit soustavu rovnic a výsledkem je vždy stejné řešení, při výpočtech metodou MC je výsledek určen intervalem možných řešení. Celkové řešení je pak určeno střední hodnotou výsledků jednotlivých her a vypočtenou standardní odchylkou.
Obecně lze konstatovat, že použití metod MC je výhodné v případech, kdy lze jednodušeji sestavit a aplikovat pravidla hry než sestavit rovnice popisující problém nebo kdy by bylo potřeba pro jejich sestavení přijmout výrazné zjednodušení. Nedávno jsem se účastnil společenské akce v uzavřeném areálu s několika východy, které byly nestejnoměrně vytíženy. Kdyby si pořadatelé pomocí metody MC mohli nasimulovat chování návštěvníků, zjistili by, které východy budou lidé pravděpodobně preferovat, tj. kde bude potřeba posílit výstupní personál, a kde se kontroloři zbytečně nudili (také mohou zjistit, že jejich rozestavění vchodů a personálu bylo správné a pouze se realizovala málo pravděpodobná situace).
Vrátím se zpět k šanci vyhrát v ruletě. Nedělejte si iluze. Pravděpodobnost hlavní výhry není nulová, a pokud při vás bude stát štěstěna během prvních několika sázek, můžete si z kasina odnést více peněz, než jste si přinesli. Bohužel, čím déle budete hrát, tím více na vás bude platit neúprosná statistika, která říká, že se k vám vrátí jen 36 žetonů z 37 vsazených. Nechci vás, čtenáře, ovlivňovat, avšak pokud chcete získat více peněz, zkuste jít na brigádu – já to dělal a funguje to.