Recenze

Článků v rubrice: 74

Praktické geometrické konstrukce pomocí pravítka a kružítka

Geometrie (z gé – země a metria – měření) se považuje za jeden z nejstarších vědních oborů. Jednoduché geometrické útvary byly známy již ve starší době kamenné a podrobněji se zkoumaly ve všech starověkých civilizacích. Geometrie původně sloužila pro praktické účely v zeměměřictví a stavebnictví. Staroegyptští „natahovači provazu“ přeměřovali hranice pozemků po každoroční nilské záplavě. Prastaré indické metody konstrukce oltářů najdeme v Šulba sútrách. Na vědecké úrovni se jim poprvé věnovali staří Řekové, provádějící podobné konstrukce i v menším měřítku (Thalet, Pythagoras, Eukleides, Pappos, Ptolemaios). Platón jako první stanovil striktní podmínku, že k tomu může být užito jen pravítka a kružítka, tedy ideálních tvarů přímky a kružnice.

Fotogalerie (1)
Titulní stránka knihy

V oblasti konstrukčních úloh existovaly čtyři klasické problémy: trisekce úhlu (rozdělení daného úhlu na tři menší stejně velké úhly), duplikace krychle (tzv. delfský problém, kdy k dané krychli je třeba zkonstruovat krychli s dvojnásobným objemem), kvadratura kruhu (převedení daného kruhu na čtverec o stejném obsahu) a konstrukce pravidelných mnohoúhelníků (bez jakýchkoliv vstupních dat). Ani jednu z těchto úloh nelze vyřešit pomocí eukleidovské konstrukce neboli konstrukce pomocí idealizovaného kružítka a pravítka. O tomto pravítku se předpokládá, že má nekonečnou délku, jen jednu hranu a žádné značky pro měření a lze podle něj nakreslit přímku procházející dvěma danými body, kružítko může nakreslit jakkoli velkou kružnici, je-li dán její střed a poloměr. Pokud se domníváte, že pravítko představuje vlastně luxus, nejste sami – myslel si to již v 17. století i Dán Georg Mohr, který ukázal, že jakákoliv konstrukce, kterou můžeme provést kružítkem a pravítkem, je řešitelná pouhým kružítkem. K témuž výsledku dospěl nezávisle v roce 1797 Ital Lorenzo Mascheroni (Mohr-Masceroniho věta).

Kružítko a pravítko

Britský středoškolský učitel matematiky Andrew Sutton, jehož speciálním zájmem je užití matematiky v umění, napsal před deseti lety unikátní útlou knížku, ve které čtenáře seznamuje s počátky, historií, principy a názornými postupy nejen užitečných a matematicky přesných, ale i elegantních geometrických konstrukcí vytvořených těmito základními jednoduchými nástroji. Po staletí je užívali umělci, zeměměřiči, architekti, stavitelé, tesaři, kameníci a řemeslničtí mistři dalších oborů. Inspirací pro vznik této unikátní publikace byly příručky pro řemeslníky perského matematika Abu´l Wafy (940-998 n. l.) a první německá kniha o matematice pro dospělé Uvedení do měřictví, napsaná malířem, grafikem, matematikem, rytcem a teoretikem umění evropského formátu Albrechtem Dürerem (1471-1528). Zdařilý překlad anglického originálu z pera Marka Pečenky nyní vydalo pod názvem Pravítko a kružítko a s podtitulem Praktické geometrické konstrukce nakladatelství Dokořán (Praha 2017, 1. vydání v českém jazyce, ISBN 978-80-7363-724-8) jako 20. svazek edice Pergamen (Malé knihy, velké myšlenky).

Otázky a odpovědi

Umíte narýsovat sedmiúhelník? A co třeba sedmnáctiúhelník? Jak se sestrojí kružnice vepsané do trojúhelníku? A kružnice opsané? Říká vám něco rozdělení obdélníku podle „počítání písku“, dynamická symetrie nebo metoda zvaná „neusis“? Víte, čím se liší ovál od pravé elipsy nebo že existuje průměr nejen aritmetický, ale také geometrický a harmonický? Co jsou to konstrukce se „zarezlým kružítkem“? Pokud nebudete mít k dispozici počítač, zvládnete to jen pomocí kružítka a pravítka? Než si sami odpovíte na tuto otázku, doporučuje autor knihy čtenářům, aby si nejdříve část popsaných geometrických konstrukcí sestrojili (narýsovali) pomocí jeho konkrétního jednoduchého systému. S výjimkou několika málo originálních adaptací jde o úlohy standardní a známé ze školních učebnic matematiky (kolmice, rovnoběžky v jedné rovině, trojúhelníky, čtverce a kosočtverce z přímek a kružnic, n-úhelníky, kružnice vepsané a opsané, více kružnic vepsaných, tečny, násobení ploch, spravedlivé rozdělení úsečky, průměry dosažené geometrií, zlatý řez, elegantní postupy dělení obdélníků, užitečný trik „neusis“, spirály a další skvělé otočky, elipsy a ovály, samotné kružítko či samotné pravítko apod.).

Není třeba se obávat stáří řady konstrukcí, ani litovat vynaložené práce. Obsah knihy je nadčasový. Nad vchodem do Platónovy Akademie prý stál nápis: Bez znalosti geometrie sem nikdo nevstupuj. Pusťme se tedy pro začátek do zkoumání praktických geometrických konstrukcí…

Tesařík Bohumil
Poslat odkaz na článek

Opište prosím text z obrázku

Nejnovější články

Kuriózní pojídání arsenu

Určité empirické zkušenosti s jedovatými látkami pocházejí již z doby prehistorické, ale první písemné zmínky o nich najdeme ve starém Egyptě. Vražedné a sebevražedné prostředky se těšily velké pozornosti také v antickém Řecku a Římě, avšak svého vrcholu dosáhlo travičství až v době renezance.

Zadrátovaný ITER

14. dubna 2020 uplynulo 40 let od havárie Apolla 13. Kosmonauti tehdy na Měsíc nevystoupili, „pouze“ ho s vypětím všech sil obletěli. Jejich šťastný návrat na Zemi sledoval s rozechvěním celý svět.

Deštný prales pod Antarktidou

Antarktida nebyla vždy zemí ledu. Před miliony let, kdy byla stále součástí obrovského kontinentu na jižní polokouli zvaného Gondwana, vzkvétaly poblíž jižního pólu stromy. Nově objevené fosílie stromů a dalších organizmů odhalují, jak se pralesu dařilo.

Dvě cívky na cestě a sedmnáct jich čeká

V letech 2004-2005, kdy se rozhodovalo, zda se bude tokamak ITER stavět v Japonsku nebo v Evropě, byla jedním z velmi diskutovaných argumentů přeprava výrobků. Ty rozměrné  se měly dopravovat od výrobce na staveniště ITER po moři.

Je doba koronavirová ránou pro ekologii nebo příležitostí ke změně?

V internetových diskuzích se ve spojení s nouzovým stavem objevila polemika, zda má smysl třídit i nadále domácí odpad. Někomu to najednou přijde zbytečné. Všimli jste si ale, že právě nyní raději sáhnete po hygienicky zabalených potravinách a doma vám tak násobně přibylo plastů?

Nejnovější video

Bez jaderné energie se ve vesmíru daleko nedostaneme

Krátké výstižné video z dílny Mezinárodní agentury pro atomovou energii ve Vídni ukazuje využití jaderné energie a jaderných technologií při výzkumu vesmíru. Ne každý ví, že jádro pohání vesmírné sondy už po desetiletí. Zopakujme si to. (Film je v angličtině.)

close
detail