Fraktální geometrie

V rámci Letní studentské konference pořádané Studentskou unií FJFI vznikl i příspěvek studenta Gymnázia Otokara Březiny a Střední odborné školy Telč Ondřeje Lanče. Jak autor píše, slovo fraktál je odvozeno od latinského slova fractus – zlomený, úlomky. Poprvé jej použil Benoît Mandelbrot, francouzský matematik polského původu. Obecně lze říct, že fraktál je každý geometricky nepravidelný útvar, u něhož po rozdělení na části vzniknou soběpodobné části původního celku.

Kochova vločka

Vezměme si tužku a papír. Nakresleme nejdříve úsečku AB o délce L₀ = 1. V prvním kroku ji rozdělíme (pomocí bodů A’, B’) na třetiny a úsečku A’B’ nahradíme „do trojúhelníka“ dvěma stejnými úsečkami A’C’ a C’B’. Tím vznikne křivka délky L₁ = 4/3 ≈ 1,33. Ve druhém kroku provedeme stejný postup – rozdělení na třetiny a nahrazení prostřední třetiny „stříškou“ – nad každou ze čtyř vzniklých úseček. Nově vzniklý obrazec má zřejmě délku L₂ = (4/3)² ≈ 1,78. Ve třetím kroku provedeme opět manévr prvního kroku nad každou z šestnácti vzniklých úseček a dostaneme tak křivku délky L₃ = (4/3)³ ≈ 2,37. Protože její délka vyroste v každém kroku o 1/3 dosavadní délky, je její délka po n-tém kroku (4/3)ⁿ, a tedy zřejmě roste do nekonečna – nebo, chcete-li, ať si zvolíte jakoukoli hodnotu L, můžete najít takové celé číslo n, že po n krocích je délka L_n naší křivky větší než L. (Kdo umí logaritmovat, vidí, že stačí zvolit n > log L / log (4/3), a to při libovolném základu užitých logaritmů.)

Pokud ze tří úseček v prvním kroku sestavíme (rovnostranný) trojúhelník a všechny právě popsané konstrukce provádíme vně tohoto trojúhelníka, dostaneme šestiúhelníkovitý obrazec podobný sněhové vločce – Kochovu vločku. Je nazvána podle švédského matematika Helge von Kocha, který ji popsal roku 1904. Její obvod zřejmě roste do nekonečna, její plocha však nikoli.

Plocha původního trojúhelníka je P₀ = √3 / 4, v prvním kroku se přičítá 3 (počet stran trojúhelníku) × 1 (počet nových úseček na jedné straně) × P₀ / 9 (plocha nového trojúhelníčku), tedy 3× (4 / 9) P₀. Počet trojúhelníčků v každém dalším kroku je 4 × větší, ale jejich plocha je jen 1 / 9 z předchozího kroku, takže obecně v n-tém kroku přičítáme 3 (trojúhelník) × 4^n-1 (počet nových úseček) × (1 / 9) ⁿ P₀ (plocha nového trojúhelníčku). Plocha je proto postupně P_n = P₀ × (1 + 3/9 ×(1 + 4/9 + 4²/9² + 4³/9³ +…)). To je geometrická řada, jejíž součet je 1,6 × P₀. Plocha tedy – na rozdíl od obvodu – neroste neomezeně.

Obrázek prvních čtyř tvarů vedoucích ke Kochově vločce máte např. na

http://en.wikipedia.org/wiki/File:KochFlake.svg

Soběpodobnost

Každá se tří stran Kochovy vločky je soběpodobná. To znamená, že vezmete-li úsek K_AB hotové Kochovy křivky od A do B a porovnáte-li ho s úsekem K_A‘B’ od A’ do B’, pak

1) K_A‘B’ je (po trojnásobném zvětšení) identický s K_AB (soběpodobnost); přitom ale

2) K_AB sestává ze čtyř úseků K_A‘B’.

Připomeňme, že zmenšíme-li měřítko 1:3, pak příslušný kousek úsečky (mající rozměr D = 1), resp. čtverce (D = 2), resp. krychle (D = 3) se do celku vejde třikrát, resp. devětkrát, resp. sedmadvacetkrát. Strana Kochovy vločky je tedy podle D něco mezi úsečkou – čarou, a čtvercem – plochou.

Fraktály

Fraktály mají často zvláštní vlastnosti, jako například nekonečně malý obsah či nekonečně dlouhý obvod. Jako příklad může posloužit „měření obvodu ostrova“. Obvod ostrova lze změřit tak, že vezmeme tyč určité délky a budeme ji přikládat po obvodu ostrova; tím zjistíme obvod ostrova. Ovšem pokud použijeme tyč kratší délky, změříme větší detaily a tím naměříme obvod o trochu větší. Postupným zmenšováním měřidla lze dosáhnout toho, že změřený obvod bude libovolně velký.

Fraktály lze definovat různě. Nejvýstižnější je zřejmě Mandelbrotova definice z roku 1977: „Fraktál je množina, jejíž hodnota Hausdorffovy (fraktální) dimenze je větší než hodnota dimenze topologické“.

Fraktální dimenze

Pod pojmem dimenze se každému vybaví dimenze topologická, která udává počet souřadnic, kterých je třeba k popisu určitého objektu. Například pro křivku je topologická dimenze 1, pro popis bodů na ploše je již potřeba dvou souřadnic, dimenze plochy je tedy 2. U složitých objektů, jako jsou fraktály, však dimenzi nelze takto dobře popsat a proto se zavádí tzv. fraktální dimenze, která udává míru nepravidelnosti objektu. Fraktální dimenze současně vyjadřuje, jak roste jeho objem, obsah či délka v závislosti na měřítku zobrazovaného fraktálu. Fraktální dimenzi lze vypočítat pomocí vzorce

D=log N/log1/r,
kde D je dimenze, N je počet soběpodobných úseků a 1/r faktor změny délky.

Při tvorbě Kochovy křivky („obvodu vločky“) každým krokem ze 3 částí vzniknou 4 nové „stejné“ části; její dimenze je proto D = log 4 / log 3 ≈ 1,26; se svou nekonečnou délkou a divokým tvarem je to víc než čára (D = 1), ale míň než plocha (D = 2).

Sierpińského trojúhelník

Sierpińského trojúhelník byl popsán v roce 1915 polským matematikem Wacławem Sierpińskim. Základem tohoto fraktálu je rovnostranný trojúhelník. V prvním kroku je odebrán rovnostranný trojúhelník třetinové velikosti původní, který je ohraničený středními příčkami. V dalším kroku jsou stejným způsobem odebrány střední trojúhelníky tří třetinových trojúhelníků, které vznikly v prvním kroku. Tento postup se opakuje donekonečna. Obdobným způsobem by se dal vytvořit Sierpińského koberec, kdy je základním útvarem čtverec; dál se postupuje podobně, vyjmutím prostředního čtverce.

Mengerova houba

Mengerova houba je vlastně převedením Sierpińského koberce do prostoru. Sierpińského koberec je stěna tohoto fraktálu. Houba vzniká vyříznutím středového kříže krychle a následně opakovaným vyřezáváním v nově vzniklých dílčích krychlích. Tento objekt je zajímavý tím, že má nekonečně malý objem a nekonečně velký povrch.

Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina je definována jako množina komplexních čísel, pro která limita posloupnosti z_n+1=z₂ⁿ +c ; c=z₀ není nekonečná. Konstanta c je pro každý bod množiny jiná (podle zvoleného z₀ ). Množina je pojmenovaná podle Mandelbrotova křestního jména (Benoît).

Byl to francouzský matematik polského původu, narodil se 20. ledna 1924. Studoval pod vedením Gastona Julii, po němž byly později pojmenovány Juliovy množiny. Mandelbrot je považován za zakladatele fraktální geometrie. Jako první definoval pojem fraktál. Mandelbrotova množina je zobrazena černou barvou, ostatní barvy určují, kolik iterací je třeba vypočítat, abychom rozhodli, zda posloupnost jde k nekonečnu.

Juliovy množiny

Juliova množina je definována jako množina komplexních čísel, pro která limita posloupnosti z_n+1=z₂ⁿ +c není nekonečná. Na rozdíl od Mandelbroty množiny je konstanta c pro celou množinu stejná. Juliových množin je tedy nekonečně mnoho a jsou závislé právě na konstantě c. Juliovy množiny se dělí na dva typy: souvislé a nesouvislé. (Množina je nesouvislá právě tehdy, když ji lze rozdělit na dvě disjunktní otevřené množiny, názorně přiblíženo – když nelze najít čáru spojující některé dva body množiny a ležící každým svým bodem v této množině.)

Newton

Fraktál pojmenovaný Newton vyjadřuje rozložení počátečních bodů v rovině komplexních čísel, která jsou použita pomocí Newtonovy metody řešení polynomů k vypočtení kořene. Podle toho, ke kterému kořenu Newtonova metoda konverguje, se počáteční bod obarví barvou. Základní fraktál typu Newton je k polynomu x³-1=0, tedy pro tři komplexní kořeny. Mohlo by se zdát, že se plocha rozdělí na tři stejné barevné úseky, které budou jasně odděleny a vždy jeden bude směřovat k danému kořenu. Ve skutečnosti se však objeví zvláštní fraktální útvary a mezi dvě barevné plochy se dostává barva třetí. Při velkém zvětšení se vše stále opakuje dokola (soběpodobnost).

Cantorův prach (Cantorovo diskontinuum)

Z úsečky 0 – 1 vyjmeme prostřední třetinu (včetně levého kraje). Na rozdíl od Kochovy křivky ale místo ní nedáme nic, a pokračujeme dále. (Matematik vidí, že na číselné ose od 0 do 1 ponecháme jen ta čísla, jejichž zápis ve trojkové soustavě obsahuje cifry 0 a 2, nikoli však 1.) To, co zbyde, má zřejmě jednorozměrnou délku 0, přitom to ale obsahuje v jistém smyslu stejně mnoho bodů, jako původní úsečka od 0 do 1 (tj. nespočetně mnoho): stačí přiřadit každému bodu B Cantorova prachu bod B’ s dvojkovým zápisem stejným jako B, jen místo 2 píšeme 1 a vzniklý zápis čteme ve dvojkové (nikoli trojkové) soustavě.

---

Použití fraktálů

Fraktály se využívají v mnoha oborech lidské činnosti, a to včetně takových jako je umění, protože některé fraktály mohou mít vysokou estetickou hodnotu. Hlavním přínosem tohoto oboru je ovšem použití v počítačové grafice. Pomocí velmi jednoduše definovaných fraktálů se dají modelovat složitě vypadající přírodní objekty, například hory, stromy, říční systémy apod. Dále jsou fraktály využitelné v matematických modelech chaotických jevů, jako je například difuze nebo turbulentní proudění.

Použitá literatura

[1] P. Pauš, Počítačové generování fraktálních množin, FJFI ČVUT 2003/2004
http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~pausp/files/reserse.pdf

[2] P. Tišnovský, Seriál Fraktály v počítačové grafice – Root.cz,
http://www.root.cz/serialy/fraktalyv-pocitacove-grafice [cit. 12.7. 2010]

[3] M. Hinner, Jemný úvod do fraktálů,
http://martin.hinner.info/math/Fraktaly/ [cit 12.7. 2010]

[4]Přispěvatelé Wikipedie , Fraktál - Wikipedie, otevřená encyklopedie,
http://cs.wikipedia.org/wiki/Fraktál [cit 12.7. 2010]

[5]Přispěvatelé Wikipedie, Mandelbrotova množina - Wikipedie, otevřená encyklopedie,
http://cs.wikipedia.org/wiki/Mandelbrotova_množina [cit 12.7. 2010]

[6]Přispěvatelé Wikipedie, Kochova křivka - Wikipedie, otevřená encyklopedie,
http://cs.wikipedia.org/wiki/Kochova_křivka [cit 12.7. 2010]

[7]Přispěvatelé Wikipedie, Sierpinského trojúhelník - Wikipedie, otevřená encyklopedie,
http://cs.wikipedia.org/wiki/Sierpinského_trojúhelník [cit 12.7. 2010]