Fyzika a klasická energetika

Článků v rubrice: 224

Kuličky se kutálejí

Kutálejí se po dvou různých, ale podobných drahách. Tvoří je křivky A, B, které přejdou jedna v druhou otočením o 180° kolem bodu S (anebo dvojím zrcadlením, podle dvou os na sebe kolmých). Která z kuliček dojede dolů dříve?

Fotogalerie (2)
Ilustrační foto


Lednová soutěžní úloha vzbudila velké dohady a někteří čtenáři nevěří správnému řešení. Přinášíme odborný fyzikální rozbor člena redakční rady a docenta Matematicko fyzikální fakulty UK.

Připomeňme si, co víme z mechaniky o pohybu částice (tj. hmotného bodu) v gravitačním poli, s vazbou na danou křivku (A či B), bez tření. (O kuličce se mluví jen proto, aby se vyloučilo tření, ale ve skutečnosti o její rotační pohyb nestojíme – jen by úlohu komplikoval.) Homogenní gravitační pole velikosti g je orientováno proti ose z.

Především platí zákon zachování mechanické energie, tj. součet E energie pohybové Ek a polohové Ep je stálý v libovolném bodě obou trajektorií:

(1)

a odtud plyne, že při počáteční rychlosti v0 ve startovní výšce z0 (na obrázku z0 = 1) má částice nezávisle na tvaru dráhy (A, B) v obecné výšce z rychlost v, kde

(2)

Směr rychlosti je tečný k dané trajektorii pohybu. Nebezpečná je situace s počáteční rychlostí v0 nulovou; to by – při současné vodorovné tečně u startu – zůstaly částice na startu na věky stát. Můžeme jim dát sice malý impuls, ale pozor! Úloha bude špatně podmíněná, tj. nepatrná změna počáteční rychlosti (z nuly) způsobí velikou změnu celkové doby pohybu. Přitom ale koncová energie či rychlost se pozmění jen nepatrně. Naštěstí náš důkaz toto opatrně obejde: budeme porovnávat pohyb jen tam, kde se opravdu děje, tj. uvnitř mezi výškami startu z = z0 a cíle z = 0.

Z obrázku je zřejmé, že v úseku mezi výškami zz + dz je (šikmá) uražená dráha ds podle Pythagorovy věty vždy delší než (svislá odlehlost) dz. Doba dt zde strávená je zřejmě rovna dt = ds/v = w ds, kde v je rychlost (2) v tomto úseku a zavádíme w 1/v (aby zápis byl přehlednější). Volbou dostatečně malého dz dosáhneme výsledek s libovolnou přesností, pokud jen je rychlost v nenulová.

Ze symetrie křivek je zřejmě délka úseku dsh červené trajektorie (A) rovna délce dsd úseku zelené trajektorie (B)., Podobně je to i obráceně: délka dsh zeleného úseku (B) je rovna délce dsd červeného úseku (A). Zřejmě platí dsh < dsd. Bez ohledu na symetrii křivek a tím stejné délky úseků je však symetrie úlohy narušena tím, že rychlost nahoře je jiná než dole, a je tedy i jiná doba strávená na příslušných kouscích dráhy. Doba setrvání na obou kouscích trajektorie A dohromady je rovna

(3)

s označením w = 1/v. Pro částici na trase B je však analogický výraz roven

(4)

protože u ní jsou úseky ds oproti A prohozeny. Výrazy (3) a (4) však nejsou stejné a platí

(5)

protože obě závorky jsou záporné (pozor, w = 1/v, čili z vd > vh plyne wd < wh). Částice tedy strávila na obou úsecích (horní, dolní) trajektorie B dohromady delší dobu než částice na odpovídajících úsecích na A.

Protože bereme symetricky úseky horní i dolní, stačí nám probrat se shora ze startovní výšky z0 do poloviční výšky (z1/2 = z0/2). Je vidět, že v každém z úseků je doba strávená po trajektorii B delší. Je tedy delší i celá doba cesty částice po trajektorii B než celá doba cesty částice po trajektorii A.

Doc. Jan Obdržálek
Poslat odkaz na článek

Opište prosím text z obrázku

Nejnovější články

Technické muzeum v Brně má obří mapu města

Technické muzeum v Brně si  na podlahu expozice věnované letectví nechalo nainstalovat velkou ortofotomapu města, která zabírá plochu 40 m2.

Uran v roce 2021: Průvodce cenou, hodnotou a využitím komodity

Pro pochopení uranu jako obchodní komodity je důležité znát, jak se tento kov získává, jaké je jeho využití a jak se tato využití vyvíjela, které země produkují ...

Britský Sizewell C bude dělat nejen elektřinu

Jestliže investujete do jaderné elektrárny, bude standardním výsledkem velké množství vyrobené elektřiny. Od současného jaderného průmyslu se však očekává víc.

Nabídka odborných T-exkurzí v rámci Talnetu

Zajímá vás, co všechno žije na vaší zahradě a jak to najít? Víte, odkud pocházejí vaši sousedé? Umíte vyčíst z kamenů životní příběhy?

Nová studie vyzývá k renesanci jaderné energie v EU

Pokud chce Evropská unie splnit své cíle v oblasti klimatické neutrality, měla by znovu rozjet program „jaderné renesance“. To je závěr nové studie o klimatické politice EU.

Nejnovější video

Jak funguje PCR test na coronavirus

Krásně a jednoduše vysvětleno se srozumitelnými animacemi. V angličtině.

close
detail