Kuličky se kutálejí

Kutálejí se po dvou různých, ale podobných drahách. Tvoří je křivky A, B, které přejdou jedna v druhou otočením o 180° kolem bodu S (anebo dvojím zrcadlením, podle dvou os na sebe kolmých). Která z kuliček dojede dolů dříve?

Lednová soutěžní úloha vzbudila velké dohady a někteří čtenáři nevěří správnému řešení. Přinášíme odborný fyzikální rozbor člena redakční rady a docenta Matematicko fyzikální fakulty UK.

Připomeňme si, co víme z mechaniky o pohybu částice (tj. hmotného bodu) v gravitačním poli, s vazbou na danou křivku (A či B), bez tření. (O kuličce se mluví jen proto, aby se vyloučilo tření, ale ve skutečnosti o její rotační pohyb nestojíme – jen by úlohu komplikoval.) Homogenní gravitační pole velikosti g je orientováno proti ose z.

Především platí zákon zachování mechanické energie, tj. součet E energie pohybové E_k a polohové E_p je stálý v libovolném bodě obou trajektorií:

(1)

a odtud plyne, že při počáteční rychlosti v₀ ve startovní výšce z₀ (na obrázku z₀ = 1) má částice nezávisle na tvaru dráhy (A, B) v obecné výšce z rychlost v, kde

(2)

Směr rychlosti je tečný k dané trajektorii pohybu. Nebezpečná je situace s počáteční rychlostí v₀ nulovou; to by – při současné vodorovné tečně u startu – zůstaly částice na startu na věky stát. Můžeme jim dát sice malý impuls, ale pozor! Úloha bude špatně podmíněná, tj. nepatrná změna počáteční rychlosti (z nuly) způsobí velikou změnu celkové doby pohybu. Přitom ale koncová energie či rychlost se pozmění jen nepatrně. Naštěstí náš důkaz toto opatrně obejde: budeme porovnávat pohyb jen tam, kde se opravdu děje, tj. uvnitř mezi výškami startu z = z₀ a cíle z = 0.

Z obrázku je zřejmé, že v úseku mezi výškami z a z + dz je (šikmá) uražená dráha ds podle Pythagorovy věty vždy delší než (svislá odlehlost) dz. Doba dt zde strávená je zřejmě rovna dt = ds/v = w ds, kde v je rychlost (2) v tomto úseku a zavádíme w 1/v (aby zápis byl přehlednější). Volbou dostatečně malého dz dosáhneme výsledek s libovolnou přesností, pokud jen je rychlost v nenulová.

Ze symetrie křivek je zřejmě délka úseku ds_h červené trajektorie (A) rovna délce ds_d úseku zelené trajektorie (B)., Podobně je to i obráceně: délka ds_h zeleného úseku (B) je rovna délce ds_d červeného úseku (A). Zřejmě platí ds_h < ds_d. Bez ohledu na symetrii křivek a tím stejné délky úseků je však symetrie úlohy narušena tím, že rychlost nahoře je jiná než dole, a je tedy i jiná doba strávená na příslušných kouscích dráhy. Doba setrvání na obou kouscích trajektorie A dohromady je rovna

(3)

s označením w = 1/v. Pro částici na trase B je však analogický výraz roven

(4)

protože u ní jsou úseky ds oproti A prohozeny. Výrazy (3) a (4) však nejsou stejné a platí

(5)

protože obě závorky jsou záporné (pozor, w = 1/v, čili z v_d > v_h plyne w_d < w_h). Částice tedy strávila na obou úsecích (horní, dolní) trajektorie B dohromady delší dobu než částice na odpovídajících úsecích na A.

Protože bereme symetricky úseky horní i dolní, stačí nám probrat se shora ze startovní výšky z₀ do poloviční výšky (z_1/2 = z₀/2). Je vidět, že v každém z úseků je doba strávená po trajektorii B delší. Je tedy delší i celá doba cesty částice po trajektorii B než celá doba cesty částice po trajektorii A.