QED: Krása matematického důkazu

„Quod erat demonstrandum“ (Q. E. D.) neboli „což mělo být dokázáno“ (C. B. D.) představuje hlavní směr úsilí matematiků a završení jejich úsilí o poskytnutí důkazů ve prospěch určité matematické teorii. Současně jde o téma nového atraktivně graficky zpracovaného knižního titulu, který čtenáře provede oblastí na hranici výtvarného umění a abstraktního myšlení. Jeho autor Burkard Polster je profesorem matematiky na australské MONASU University Clayton poblíže Melbourne. Sám o sobě uvádí, že kromě odborných publikací píše také knihy o matematice, žonglování, filmu i zavazování tkaniček.

Hybnou silou čisté matematiky je honba matematiků za stoprocentními tvrzeními, doloženými důkazy. Charakteristickou vlastností matematických důkazů je to, že působí na stejnou oblast mozku, kterou vnímáme obrazové vjemy. Pokud matematici od časů Euklidových chtěli na konci delšího nebo ne zcela přehledného důkazu upozornit, že bylo právě cíle dosaženo, připsali tři písmena: Q. E. D. V současnosti se používá typografická značka – prázdný nebo plný černý čtvereček, kterému se také říká „halmos“ (po americkém matematikovi Paulo Halmosovi, který ji zavedl). Používá se v tištěných matematických textech k označení konce důkazu.

Druhy matematických důkazů

Existuje řada důkazů rozmanitého stylu a velikosti. Matematika dnes pracuje s několika druhy důkazů. Jsou to důkaz sporem, přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz matematickou indukcí, důkaz zpřeházením, dvojím výpočtem, řezem, důkazy pomocí klínů a další. Úspěšný důkaz v sobě nese matematikův otisk důvěryhodnosti, čímž odděluje prokázaný teorém (větu) od domněnky, geniální myšlenky nebo prvního dojmu. Mezi vlastnosti, které od důkazu očekáváme, patří jeho pečlivost, přesnost, průhlednost, důvtip a v neposlední řadě také elegance. Některé důkazy jsou krátké, zvláště ty, které se objevují ve školních učebnicích. Jiné delší, jež podrobně rozepisují poslední poznatky v daném oboru, mohou zabrat celá čísla časopisů a dosahovat tisíců stránek. Celou argumentaci má v těchto případech šanci pochopit jen hrstka lidí.

Dvacítka oku lahodících důkazů

Matematický důkaz je nástrojem, který odlišuje matematiku od všech ostatních oblastí lidského myšlení. Je-li nějaké tvrzení jednou dokázáno, už nikdy ho nelze vyvrátit – leda by v „důkazu“ byla chyba, kterou autor přehlédl. Kromě nezpochybnitelnosti však mají matematické důkazy ještě jednu vlastnost: mohou být krásné. Právě to se nám snaží ukázat (a dokázat) útlý titul „Q. E. D. Krása matematického důkazu“, vydaný nakladatelstvím Dokořán (Praha 2014, 1. české vydání, 58 str., 12. svazek edice PERGAMEN, překlad anglického originálu z roku 2004 Luboš Pick, ISBN 978-80-7363-532-9). Balancuje na hranici výtvarného umění a abstraktního myšlení, kde se tvary setkávají s myšlenkami a stává se z nich matematika. Srozumitelný a díky mnoha doprovodným černobílým obrázkům a náčrtům velmi názorně zpracovaný text představuje sbírku více než dvou desítek překvapivě jednoduchých a oku lahodících důkazů a jejich základních principů. Zaměřuje se především na ty, které mají graficky zajímavou reprezentaci, což však škálu úloh neomezuje jen na geometrii.

Existuje jen málo lidí schopných plně ocenit a vychutnat si krásu a půvab světa matematiky. Sbírka několika zázračných matematických objektů včetně myšlenek v jejich pozadí je určena nejen profesionálním matematikům, ale každému, koho zajímá krása světa matematického důkazu skrytá pod povrchem této starobylé vědy. Určitě by také neměla uniknout pozornosti učitelů matematiky, fyziky, výtvarné výchovy, technického kreslení a dalších vyučovacích předmětů.

Boxík

Pro ilustraci: Pythagorova věta (důkaz řezáním), Najdete pí v pizze? (záhady kruhu), Cavalieriho princip (důkaz aproximací pomocí řezů), Archimedova věta (záhady kolem koule), Matematické domino (důkaz indukcí), Možné nemožnosti (zdvojení, kvadratura a trisekce), Čísla v přírodě (geometrie růstu), Zlatý řez (oblíbené číslo matky přírody), Prvočísla bez konce (důkaz sporem), Uzly a mnohoúhelníky (důkaz ohýbáním papíru), Krájení čtverců (nové pohledy na staré recepty), Součty mocnin (důkaz dvojím výpočtem) aj.